Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若對恒成立，求的最大值與的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的最大值為，的最小值為1

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明即可；

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，然后求解的最大值與的最小值.

（Ⅰ）因為

當(dāng)，從而在單調(diào)遞減，所以.

（Ⅱ）令則

，由（Ⅰ）知，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故

所以的最大值.

因為等價于

令則

（1）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以對任意恒成立，不符合題意；

（2）當(dāng)時，因為對任意，，所以在單調(diào)遞減，所以對任意恒成立，符合題意；

（3）當(dāng)時，構(gòu)造，則

所以在單調(diào)遞增，又因為

所以存在唯一零點，使得，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)，，在在單調(diào)遞增

所以，不符合題意，綜上，的最小值為1

所以對恒成立，的最大值為，的最小值為1.