Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)．

（1）求曲線(xiàn)的普通方程及直線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）求的面積．

Answer 1

【答案】（1），(為參數(shù))；（2）．

【解析】

（1）消參將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程，再將的極坐標(biāo)方程先化為一般方程，再化為參數(shù)方程；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求出弦長(zhǎng)，再求點(diǎn)到的距離，求出的面積.

（1）將曲線(xiàn)，消去參數(shù)得，曲線(xiàn)的普通方程為，

∵點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴，

∴，展開(kāi)得，

又，，∴直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，

顯然過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，∴直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（2）由（1），將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通方程得：

，整理得，顯然，

設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，，則由韋達(dá)定理得，，

由參數(shù)的幾何意義得，

又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

因此，的面積為．