Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值范圍是( )
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-2)
D.(-∞,-1)

Answer 1

【答案】C
【解析】 ，令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，存在兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)增，在 單調(diào)減，在
單調(diào)增， 所以當(dāng) 時(shí) 取極小值， 取極大值， ， 時(shí)， ，此時(shí)必有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上為減函數(shù)，在 為增函數(shù)，在 為減函數(shù)， 為極大值點(diǎn)， 為極小值點(diǎn)， ，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,只需 ，解得 ,
所以答案是：C.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系(二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn))，還要掌握函數(shù)的零點(diǎn)(函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．