(2012•淮南二模)如圖,在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BE=BC,AE⊥BE,M為CE上一點(diǎn),且BM⊥面ACE.
(1)求證:AE⊥BC;
(2)若點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn),求證:MN∥面ADE;
(3)若 BE=4,CE=4
2
,且二面角A-BC-E的大小為45°,求三棱錐C-ABE的體積.
分析:(1)證明BM⊥AE,AE⊥BE,可得AE⊥面BCE,從而可得AE⊥BC;
(2)取DE中點(diǎn)P,連接PM,AP,證明AMNP為平行四邊形,從而可證MN∥面ADE;
(3)證明∠ABE為二面角A-BC-E的平面角,可得AE=BE=4,從而可求三棱錐C-ABE的體積.
解答:(1)證明:∵BM⊥面ACE,AE?面ACE,∴BM⊥AE
∵AE⊥BE,BM∩BE=B
∴AE⊥面BCE
∵BC?面BCE
∴AE⊥BC;
(2)解:取DE中點(diǎn)P,連接PM,AP
∵BC=BE,BM⊥AE
∴M為CE的中點(diǎn)
∴MP∥
1
2
DC∥AN
∴AMNP為平行四邊形
∴MN∥AP
∵M(jìn)N?面ADE,AP?面ADE
∴MN∥面ADE
(3)解:由BE=BC=4,CE=4
2
得BC⊥BE
∵BC⊥AE,AE∩BE=E
∴BC⊥面ABE
∴∠ABE為二面角A-BC-E的平面角
∴∠ABE=45°
∴AE=BE=4
∴三棱錐C-ABE的體積
1
3
×
1
2
×42×4=
32
3
點(diǎn)評(píng):本題考查線面位置關(guān)系,考查線面平行,線面垂直,考查線線垂直,考查三棱錐的體積,掌握線面平行,線面垂直的判定方法是關(guān)鍵.
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