Question

設函數f（x）對任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x＞0時，f（x）＜0，且f（1）=2，
①求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】分析：①根據f（x+y）=f（x）+f（y），x＞0時，f（x）＜0，設x₁＜x₂，可判斷出f（x₂）與f（x₁）的大小，進而根據函數單調性的定義，可判斷出函數的單調性，分別令x=y=0，和y=-x，我們可以分析出函數的奇偶性，進而由f（1）=2，可求出f（x）在[-3，3]上的最值
②由①中結論，可將不等式f（t-1）+f（t）＜0化為t-1＞-t，解不等式可得答案．
解答：解：①設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0
∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）
所以f（x）是R上的減函數，…（4分）
令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
即f（x）為奇函數．…（6分）
故f（x）在[-3，3]上的最大值為f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，…（8分）
最小值為f（-3），
∴f（-3）=-f（3）=6．…（10分）
②因為奇函數f（x）在R上是減函數…（11分）
由f（t-1）+f（t）＜0 得
f（t-1）＜-f（t）=f（-t）…（13分）
所以有t-1＞-t
解得  …（14分）
點評：本題考查的知識點是抽象函數的奇偶性與單調性，其中根據已知分析出函數的單調性和奇偶性是解答的關鍵．