【題目】已知橢圓上的一點到其左頂點的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(與點不重合),若以為直徑的圓經(jīng)過點,試證明:直線過定點.
【答案】(1) ,(2)
【解析】
(1)把點代入橢圓方程中,再根據(jù)點到其左頂點的距離為可以列出方程,聯(lián)立解方程組即可求出橢圓的方程;
(2)由題意可知:以為直徑的圓經(jīng)過點,這樣有
根據(jù)直線是否存在斜率分類討論,當(dāng)不存在斜率時,通過解方程可以證明直線過定點;當(dāng)存在斜率時,設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,把轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積最后可以確定直線過定點.
(1)易知左頂點的坐標(biāo)為.
由已知可得,解得,
所以橢圓的方程為.
(2)證明:若以為直徑的圓經(jīng)過點.則,即,故
當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為由題意得為等腹直角三角形,設(shè)直線與橢圓在軸上方的交點為,則的坐標(biāo)為.所以有,
解得 (舍去)或,所以此時直線的方程為,
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線方程為.,
聯(lián)立: 消去得:
則,
,
由題意,則,
則
,
所以,
化簡得,
所以,解得或,
當(dāng)時,滿足.此時直線方程為.過定點:
當(dāng)時,滿足.此時直線方程為.過定點,不合題意.綜上.直線經(jīng)過定點.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,直線與曲線相交于兩點,求;
(2)若,求曲線上的點到直線的距離的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2, ∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E,
下列四個結(jié)論:①AB⊥AC;②AB⊥平面PAC;③PC⊥平面ABE;④BE⊥PC.正確的個數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知橢圓:的兩個焦點為,,焦距為,直線:與橢圓相交于,兩點,為弦的中點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線:與橢圓相交于不同的兩點,,,若(為坐標(biāo)原點),求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),當(dāng)時,對任意,存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,點是雙曲線上的動點,是雙曲線的焦點,M是的平分線上一點,且,某同學(xué)用以下方法研究:延長交于點N,可知為等腰三角形,且M為的中點,得,類似地:點是橢圓上的動點,橢圓的焦點,M是的平分線上一點,且則的取值范圍是______
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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6sinθ,建立以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程是,(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且|AB|=,求直線的斜率k.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若實數(shù)為整數(shù),且對任意的時,都有恒成立,求實數(shù)的最小值.
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