Question

（本小題共12分）已知函數(shù)，其中．

（I）若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；

（II）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解: （I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052414200409372371/SYS201205241421421250125582_DA.files/image001.png">，所以函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，…………1分

即，且.

故的取值范圍是…………5分

（II）解法一：，函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根在區(qū)間內(nèi). …………7分

（2）若，則.

方程的兩個(gè)實(shí)根均不在區(qū)間內(nèi)，所以…………8分

（3）若，則.

方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以可以為…………9分

（4）若方程有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)實(shí)根在區(qū)間外，

則，即…………10分

（5）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則

………11分

綜合①②③④得的取值范圍是…………12分

（II）解法二：，

函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的充要條件是關(guān)于的方程

在區(qū)間上有實(shí)根且…………7分

關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)根的充要條件是

使得…………8分

使得

令有，記

…………10分

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有

即.…………11分

又由 得且

故的取值范圍是…………12分

（II）解法三：記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，

最小值為

函數(shù)f(x)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)f(x)在區(qū)間上不單調(diào)

…………7分

因?yàn)楹瘮?shù)的圖像是開(kāi)口向上、對(duì)稱軸為的拋物線，

所以，

…………9分

當(dāng)時(shí)，，

……11分

     故的取值范圍是……12分

【解析】略