【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a、b、c,a=btanA,且B為鈍角.
(1)證明:B﹣A= ;
(2)求sinA+sinC的取值范圍.
【答案】
(1)證明:由a=btanA和正弦定理可得 = = ,
∴sinB=cosA,即sinB=sin( +A)
又B為鈍角,∴ +A∈( ,π),
∴B= +A,∴B﹣A= ;
(2)解:由(1)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ +A)= ﹣2A>0,
∴A∈(0, ),∴sinA+sinC=sinA+sin( ﹣2A)
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2(sinA﹣ )2+ ,
∵A∈(0, ),∴0<sinA< ,
∴由二次函數(shù)可知 <﹣2(sinA﹣ )2+ ≤
∴sinA+sinC的取值范圍為( , ]
【解析】(1)由題意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范圍和誘導(dǎo)公式可得;(2)由題意可得A∈(0, ),可得0<sinA< ,化簡可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣ )2+ ,由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正弦定理的定義,需要了解正弦定理:才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求與橢圓有公共焦點(diǎn),并且離心率為的雙曲線方程.
(2)已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ +b(x≠0),其中a,b∈R.若對任意的a∈[ ,2],不等式f(x)≤10在x∈[ ,1]上恒成立,則b的取值范圍為明 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在區(qū)間上任取一個數(shù)記為a,在區(qū)間上任取一個數(shù)記為b.
若a,,求直線的斜率為的概率;
若a,,求直線的斜率為的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是半圓的直徑,,是將半圓圓周四等分的三個分點(diǎn).
(1)從這5個點(diǎn)中任取3個點(diǎn),求這3個點(diǎn)組成直角三角形的概率;
(2)在半圓內(nèi)任取一點(diǎn),求的面積大于的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度,現(xiàn)在某市進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如表:
年齡 | [5,15) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2乘2列聯(lián)表,并問是否有的99%把握認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)對“生育二胎放開”政策的支持度有差異:
(2)若對年齡在[5,15),[35,45)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查,記選中的4人不支持“生育二胎”人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
年齡不低于45歲的人數(shù) | 年齡低于45歲的人數(shù) | 合計 | |
支持 | a= | c= | |
不支持 | b= | d= | |
合計 |
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若平面 平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+alnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2x+2x2 , 討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(3)若(2)中函數(shù)g(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),且不等式g(x1)≥mx2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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