【題目】已知函數(shù)（其中，），記函數(shù)的導函數(shù)為．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)，使得對任意正實數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，無遞增區(qū)間；（2）見解析

【解析】

（I）求得也即的表達式，對求導，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（II）解法一：利用的單調(diào)性，求得的零點，由此求得關(guān)于的關(guān)系式.由于是的導函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性，可求得的最大值，利用這個最大值列不等式，用基本不等式等號成立的條件，求得的值.解法二：對分成或兩類，利用求出的的范圍比較后求得的值.

（Ⅰ），

∴，∵，，∴恒成立，

∴的單調(diào)減區(qū)間為，無遞增區(qū)間；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，所以在上必存在實數(shù)根，不妨記，即，可得 （*）

當時，，即，當時，，即，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

把（*）式代入可得，

依題意恒成立，又由基本不等式有，當且僅當時等號成立，解得，所以．

代入（*）式得，，所以，又∵，所以解得．

綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意正實數(shù)恒成立

解法二：要使對恒成立，

①即時，，解得，所以，

②即時，，解得，所以，

依題意可知，①、②應同時成立，則，又∵，所以解得．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于、兩點，若直線與斜率之積為，求證：直線過定點，并求定點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 有極值，且函數(shù)的極值點是的極值點，其中是自然對數(shù)的底數(shù).（極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值）

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當時，若函數(shù)的最小值為，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于區(qū)間[a,b](a<b),若函數(shù)同時滿足：①在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，②函數(shù)在[a,b]的值域是[a,b]，則稱區(qū)間[a,b]為函數(shù)的“保值”區(qū)間

（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間

（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列命題中，真命題是（ ）

A. 設(shè)，則為實數(shù)的充要條件是為共軛復數(shù)；

B. “直線與曲線C相切”是“直線與曲線C只有一個公共點”的充分不必要條件；

C. “若兩直線，則它們的斜率之積等于”的逆命題；

D. 是R上的可導函數(shù)，“若是的極值點，則”的否命題．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的上點 對應的參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，直線的參數(shù)方程為

（1）說明曲線是哪種曲線，并將曲線轉(zhuǎn)化為極坐標方程；

（2）求曲線上的點到直線的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，⊥平面，底面為梯形，， ，，，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是 (　　)

A. “若，則，或”的否定是“若則，或 ”

B. a,b是兩個命題，如果a是b的充分條件，那么是的必要條件．

C. 命題“，使 得”的否定是：“，均有 ”

D. 命題“ 若，則”的否命題為真命題.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點，直線.

（1）求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上任一點，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點的坐標.

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)所求直線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程，解方程可得，則所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，由題意可得，則，然后證明為常數(shù)為即可.

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，據(jù)此得到關(guān)于的方程組，求解方程組可得存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

試題解析：

（1）設(shè)所求直線方程為，即，

∵直線與圓相切，∴，得，

∴所求直線方程為

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，；

當為圓與軸右交點時，，

依題意，，解得，（舍去），或.

下面證明點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設(shè)，則，

∴ ，

從而為常數(shù).

方法2：假設(shè)存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

∴，將代入得，

，即

對恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在點對于圓上任一點，都有為常數(shù).

點睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為，其中為常數(shù).

（1）當時，求的最大值，并推斷方程是否有實數(shù)解；

（2）若在區(qū)間上的最大值為-3，求的值.

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