Question

已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=CD=DE=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求平面ABC和平面CDE所成的小于90？的二面角的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)A到平面BCD的距離的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：DE⊥平面ACD，所以DE⊥AF，又AF⊥CD，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得答案．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．
（Ⅲ）設(shè)AB=x，則x＞0，根據(jù)題中的條件可得：平面ABF⊥平面BCD．連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，則AH⊥平面BCD，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)可得：∴AH=

3

3 x2 +1

，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．
又∵AC=AD=CD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴AF⊥CD．
∵DE?平面CDE，CD?平面CDE，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）如圖，以F為原點(diǎn)，過F平行于DE的直線為x軸，F(xiàn)C，F(xiàn)A所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

∵AC=2，∴A（0，0，

3

），設(shè)AB=x，
所以B（x，0，

3

），C（0，1，0）
所以

.

AB

=（x，0，0），

.

AC

=（0，1，-

3

），
設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為

n

=（a，b，c），
則由

.

AB

?

n

=0，

.

AC

?

n

=0，得a=0，b=

3

c，不妨取c=1，
則

n

=（0，

3

，1）．
∵AF⊥平面CDE，∴平面CDE的一個(gè)法向量為（0，0，

3

）．
∴cos＜

n

，

.

FA

＞=

n• . FA

|n|•| . FA |

=

1

2

，
∴＜

n

，

.

FA

＞=60°．
∴平面ABC與平面CDE所成的小于90°的二面角的大小為60°．
（Ⅲ）設(shè)AB=x，則x＞0．∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD．
又∵AF⊥CD，AB?平面ABF，AF?平面ABF，AB∩AF=A，
∴CD⊥平面ABF．

∵CD?平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD．
連BF，過A作AH⊥BF，垂足為H，則AH⊥平面BCD．
線段AH的長即為點(diǎn)A到平面BCD的距離．
在Rt△AFB中，AB=x，AF=

3

2

CD=

3

，
∴BF=

3+x2

，
∴AH=

3 x

3+x2

=

3

3 x2 +1

∈（0，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)底面為直角梯形且有一個(gè)側(cè)面與底面垂直的四棱棱，通過圖形位置的變化，考查學(xué)生在新的幾何載體中，尋找發(fā)現(xiàn)線面之間的平行與垂直關(guān)系．第（Ⅱ）問把平行問題與作二面角的棱有機(jī)結(jié)合起來，通過二面角與點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，規(guī)范表示能力．