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【題目】已知設函數.

（1）若，求極值；

（2）證明：當，時，函數在上存在零點.

【答案】（1）取得極大值0，無極小值（2）見證明

【解析】

（1）通過求導得到，求出的根，列表求出的單調區(qū)間和極值.

（2）對進行分類，當時，通過對求導，得到在單調遞減，找到其零點，進而得到的單調性，找到，，可證在上存在零點.

當時，根據（1）得到的結論，對進行放縮，得到，再由，可證在上存在零點.

（1）當時，，定義域為，由得．

當變化時，， 的變化情況如下表：

極大值

故當時，取得極大值，無極小值．

（2），．

當時，因，所以，

在單調遞減．

因為，，

所以有且僅有一個，使，

當時，，當時，，

所以在單調遞增，在單調遞減．

所以，而，

所以在存在零點．

當時，由（1）得，

于是，所以．

所以．

于是．

因為，所以所以在存在零點．

綜上，當，時，函數在上存在零點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】

某位同學進行寒假社會實踐活動，為了對白天平均氣溫與某奶茶店的某種飲料銷量之間的關系進行分析研究，他分別記錄了1月11日至1月15日的白天平均氣溫（°C）與該奶茶店的這種飲料銷量（杯），得到如下數據：

日 期

1月11日

1月12日

1月13日

1月14日

1月15日

平均氣溫（°C）

9

10

12

11

8

銷量（杯）

23

25

30

26

21

（1）若從這五組數據中隨機抽出2組，求抽出的2組數據恰好是相鄰2天數據的概率；

（2）請根據所給五組數據，求出y關于x的線性回歸方程．

（參考公式：．）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知函數，若關于的方程有8個不等的實數根，則的取值范圍是_________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點為.設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，.

（1）設動點滿足：，求點的軌跡；

（2）設，，求點的坐標；

（3）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數.

（1）求的值域；

（2）若存在唯一的整數，使得，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年10月28日，重慶公交車墜江事件震驚全國，也引發(fā)了廣大群眾的思考——如何做一個文明的乘客.全國各地大部分社區(qū)組織居民學習了文明乘車規(guī)范.社區(qū)委員會針對居民的學習結果進行了相關的問卷調查，并將得到的分數整理成如圖所示的統(tǒng)計圖.

（Ⅰ）求得分在上的頻率；

（Ⅱ）求社區(qū)居民問卷調查的平均得分的估計值；（同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表）

（Ⅲ）以頻率估計概率，若在全部參與學習的居民中隨機抽取5人參加問卷調查，記得分在間的人數為，求的分布列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如上圖所示，在正方體中， 分別是棱的中點， 的頂點在棱與棱上運動，有以下四個命題：

A．平面 ； B．平面⊥平面；

C． 在底面上的射影圖形的面積為定值；

D． 在側面上的射影圖形是三角形．其中正確命題的序號是__________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點在拋物線的準線上，且橢圓的短軸長為2，分別為橢圓的左，右焦點，分別為橢圓的左，右頂點，設點在第一象限，且軸，連接交橢圓于點，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若三角形的面積等于四邊形的面積，求的值；

（Ⅲ）設點為的中點，射線（為原點）與橢圓交于點，滿足，求的值.

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