如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F,A是橢圓C上的一點,AF⊥FF,O是坐標原點,OB垂直AF于B,且OF=3OB.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;
(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設圓x+y=t上任意點M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點,那么OQ⊥OQ”成立.
(1)橢圓C的離心率為. (2)t=b∈(0,b)使得所述命題成

試題分析:解:(Ⅰ)解法一:由題設AF⊥FF及F(-c,0),F(xiàn)(c,0),不妨設點A(c,y),其中y>0,由于點A在橢圓上,有+=1,
+=1,解得y=,從而得到A.              1分
直線AF的方程為y=(x+c),整理得bx-2acy+bc=0.     2分
由題設,原點O到直線AF的距離為|OF|,即=,   3分
將c=a-b代入原式并化簡得a=2b,即a=b.
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
解法二:點A的坐標為.                               1分
過點O作OB⊥AF,垂足為B,易知△FBC∽△FFA,
=.                                           2分
由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a,又|BO|=|OF|,
所以=.                                   3分
解得|FA|=,而|FA|=,得=.                    
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
(Ⅱ)圓x+y=t上的任意點M(x,y)處的切線方程為xx+yy=t. 5分
當t∈(0,b)時,圓x+y=t上的任意點都在橢圓內(nèi),故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q、Q,因此點Q(x,y),Q(x,y)的坐標是方程組
的解.                                        6分
(1)當y0時,由①式得y=.代入②式,得x+2=2b,
即(2x+y)x-4txx+2t-2by=0.                        7分
于是x+x=,xx=,
yy=·=
==.
若QQ⊥QQ,則xx+ yy=+==0.
所以,3t-2b(x+y)=0.                               8分
在區(qū)間(0,b)內(nèi),此方程的解為t=b.              9分
(2)當y=0時,必有x0,
同理求得在區(qū)間(0,b)內(nèi)的解為t=b.              10分
另一方面,當t=b時,可推出xx+ yy=0,從而QQ⊥QQ.        11分
綜上所述,t=b∈(0,b)使得所述命題成立.                12分
點評:解決的關鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來求解方程,同時借助與聯(lián)立方程組的思想和韋達定理來表示得到參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題。
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