試題分析:解:(Ⅰ)解法一:由題設AF
⊥F
F
及F
(-c,0),F(xiàn)
(c,0),不妨設點A(c,y),其中y>0,由于點A在橢圓上,有
+
=1,
+
=1,解得y=
,從而得到A
. 1分
直線AF
的方程為y=
(x+c),整理得b
x-2acy+b
c=0. 2分
由題設,原點O到直線AF
的距離為
|OF
|,即
=
, 3分
將c
=a
-b
代入原式并化簡得a
=2b
,即a=
b.
∴e=
=
.即橢圓C的離心率為
. 4分
解法二:點A的坐標為
. 1分
過點O作OB⊥AF
,垂足為B,易知△F
BC∽△F
F
A,
故
=
. 2分
由橢圓定義得|AF
|+|AF
|=2a,又|BO|=
|OF
|,
所以
=
. 3分
解得|F
A|=
,而|F
A|=
,得
=
.
∴e=
=
.即橢圓C的離心率為
. 4分
(Ⅱ)圓x
+y
=t
上的任意點M(x
,y
)處的切線方程為x
x+y
y=t
. 5分
當t∈(0,b)時,圓x
+y
=t
上的任意點都在橢圓內(nèi),故此圓在點A處的切線必交橢圓于兩個不同的點Q
、Q
,因此點Q
(x
,y
),Q
(x
,y
)的坐標是方程組
的解. 6分
(1)當y
0時,由①式得y=
.代入②式,得x
+2
=2b
,
即(2x
+y
)x
-4t
x
x+2t
-2b
y
=0. 7分
于是x
+x
=
,x
x
=
,
y
y
=
·
=
=
=
.
若QQ
⊥QQ
,則x
x
+ y
y
=
+
=
=0.
所以,3t
-2b
(x
+y
)=0. 8分
在區(qū)間(0,b)內(nèi),此方程的解為t=
b. 9分
(2)當y
=0時,必有x
0,
同理求得在區(qū)間(0,b)內(nèi)的解為t=
b. 10分
另一方面,當t=
b時,可推出x
x
+ y
y
=0,從而QQ
⊥QQ
. 11分
綜上所述,t=
b∈(0,b)使得所述命題成立. 12分
點評:解決的關鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來求解方程,同時借助與聯(lián)立方程組的思想和韋達定理來表示得到參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題。