【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若,其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求證:函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn);
(3)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
【答案】(1)極小值為;無(wú)極大值(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3).
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,利用極值定義求出函數(shù)的極值;
(2)利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性和最大值,然后分類討論在不同單調(diào)區(qū)間上函數(shù)存在零點(diǎn),最后能證明出函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn);
(3)構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),求出的值域,然后能求出實(shí)數(shù)的最大值.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>,所以,
當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)單調(diào)遞減,因此是函數(shù)的極小值,故函數(shù)的極值為極小值,值為;無(wú)極大值
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>所以,
因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,因此函數(shù)是遞減函數(shù),當(dāng)時(shí),,函數(shù)是遞增函數(shù),
所以函數(shù)的最大值為: ,
因?yàn)?/span>,所以,因此有,
因?yàn)?/span>,所以,因此當(dāng)時(shí),函數(shù)有唯一零點(diǎn);
因?yàn)?/span>,所以,,故函數(shù)在時(shí),必有唯一的零點(diǎn),因此函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn);
(3)設(shè),,
,因?yàn)?/span>,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,即
當(dāng)時(shí),即,時(shí),,函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,因此有,即當(dāng)時(shí),恒成立;
當(dāng)時(shí),所以存在,使得,即當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以此時(shí),顯然對(duì)于當(dāng)時(shí),不恒成立,綜上所述,,所以實(shí)數(shù)的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知六個(gè)函數(shù):①;②;③;④;⑤;⑥,從中任選三個(gè)函數(shù),則其中既有奇函數(shù)又有偶函數(shù)的選法共有_______種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為( )
①“為真”是“為真”的充分不必要條件;
②若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1,則的平均數(shù)為2;
③在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為
④已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則.
A.4B.3C.2D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在常數(shù),使得對(duì)任意,,均有,則稱為有界集合,同時(shí)稱為集合的上界.
(1)設(shè),,試判斷是否為有界集合,并說(shuō)明理由;
(2)已知常數(shù),若函數(shù)為有界集合,求集合的上界最小值.
(3)已知函數(shù),記,,,,求使得集合為有界集合時(shí)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為推行“高中新課程改革”,某數(shù)學(xué)老師分別用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“新課程”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了比較教學(xué)效果.期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:記成績(jī)不低于120分者為“成績(jī)優(yōu)良”.
分?jǐn)?shù) | |||||
甲班頻數(shù) | 7 | 5 | 4 | 3 | 1 |
乙班頻數(shù) | 1 | 2 | 5 | 5 | 7 |
(1)從以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否犯錯(cuò)誤的頻率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”?
甲班 | 乙班 | 總計(jì) | |
成績(jī)優(yōu)良 | |||
成績(jī)不優(yōu)良 | |||
總計(jì) |
P() | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:,其中.臨界值表如上表:
(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核,在這8人中,記成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,二面角的大小為120°,點(diǎn)在棱上,且,點(diǎn)為的重心.
(1)證明:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為,(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣2,0),B(0,﹣2),M是曲線C上任意一點(diǎn),求△ABM面積的最小值.
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