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設函數f(x)＝x|x－a|＋b，求證：f(x)為奇函數的充要條件是a2＋b2＝0.

 

【答案】

證明見試題解析.

【解析】

試題分析：充要條件的證明要分別證明充分性和必要性，.本題充分性是由證明為奇函數，必要性是由為奇函數證明.

試題解析：證明充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，       2

∴f(x)＝x|x|                  3

∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數        6

必要性：若f(x)為奇函數，則對一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7

即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8

令x＝0，則b＝－b，∴b＝0，            10

令x＝a，則2a|a|＝0，∴a＝0                11

即a2＋b2＝0       12

考點：充要條件

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型：044

設函數f(x)＝(x－1)(a＞0，且a≠1)，當點P(x，y)是函數y＝f(x)圖象上的點時，點Q(3x，)是函數y＝g(x)圖象上的點．

　　

(Ⅰ)寫出函數y＝g(x)的解析式；

(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集．

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科目：高中數學 來源：廣州市2008屆高中教材變式題2：二次函數 題型：022

設函數f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列4個命題：

①當c＝0時，y＝f(x)是奇函數；

②當b＝0，c＞0時，方程f(x)＝0只有一個實根；

③y＝f(x)的圖象關于點(0，c)對稱；

④方程f(x)＝0至多有兩個實根．

上述命題中正確的序號為________．

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科目：高中數學 來源：天津市耀華中學2012屆高三寒假驗收考試數學理科試題 題型：013

設函數f(x)＝x|x|＋bx＋c，則下列命題中正確命題的序號有

①當b＞0時，函數f(x)在R上是單調增函數；

②當b＜0時，函數f(x)在R上有最小值；

③函數f(x)的圖象關于(0，c)對稱；

④方程f(x)＝0可能有三個實數根．

[　　]

A．①③

B．①④

C．①②④

D．①③④

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科目：高中數學 來源：廣東省云浮羅定中學2012屆高三11月月考數學理科試題 題型：044

已知二次函數y＝g(x)的圖象經過點O(0，0)、A(m，0)與點P(m＋1，m＋1)，設函數f(x)＝(x－n)g(x)在x＝a和x＝b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．

(1)求g(x)的二次項系數k的值；

(2)比較a，b，m，n的大小(要求按從小到大排列)；

(3)若m＋n≤2，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y＝f(x)均相切，求y＝f(x)．

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設函數f(x)＝，D是由x軸和曲線y＝f(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z＝x－2y在D上的最大值為________．

 

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