Question

已知：函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

4

）
（1）求函數(shù)f（x）在x∈[-

π

12

，π]時(shí)的值域；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[-

π

12

，π]時(shí)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x∈[-

π

12

，π]時(shí)，x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]．結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2，當(dāng)x=-

π

12

時(shí)有最小值為-

3

，由此即可得到函數(shù)f（x）在x∈[-

π

12

，π]時(shí)的值域；
（2）令t=x-

π

4

，根據(jù)已知條件得t∈[-

π

3

，

3π

4

]，結(jié)合y=sint在∈[-

π

3

，

3π

4

]上的單調(diào)區(qū)間，即可得到f（x）在區(qū)間[-

π

12

，π]上的單調(diào)性，得到本題答案．

解答：解：∵x∈[-

π

12

，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

3

，

3π

4

]
（1）∵當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，x-

π

4

=

π

2

∴當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

4

）有最大值為2
∵f（-

π

12

）=2sin（-

π

3

）=-

3

，f（π）=2sin

3π

4

=

2

∴函數(shù)f（x）在x∈[-

π

12

，π]時(shí)的最小值為f（-

π

12

）=-

3

，
綜上所述，可得函數(shù)f（x）在x∈[-

π

12

，π]時(shí)的值域?yàn)閇-

3

，2]；
（2）∵x∈[-

π

12

，

3π

4

]時(shí)，t=x-

π

4

∈[-

π

3

，

π

2

]，y=sint在[-

π

3

，

π

2

]是關(guān)于t的增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

3π

4

]上是增函數(shù)
而x∈[

3π

4

，π]時(shí)，t=x-

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]，y=sint在[

π

2

，

3π

4

]是關(guān)于t的減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[

3π

4

，π]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

4

），求函數(shù)在區(qū)間[-

π

12

，π]上的單調(diào)性與值域．著重考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．