Question

【題目】設(shè)，函數(shù)

（1）若，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

（2）若，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明）

（3）若存在，使得關(guān)于方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）遞增區(qū)間和遞減區(qū)間

（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合去絕對(duì)值解法求最值即可；

（2）同樣是采用去絕對(duì)值解法，寫出分段函數(shù)，畫出函數(shù)大致圖像，判斷函數(shù)增減區(qū)間即可；

（3）可結(jié)合（1）（2）結(jié)果，以為分界，再結(jié)合函數(shù)圖像確定函數(shù)圖像的增減性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想得出關(guān)于參數(shù)的不等式，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可求解

（1）當(dāng)時(shí)，，畫出函數(shù)圖像，如圖：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，；

（2）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

綜上所述，當(dāng)和時(shí)，函數(shù)單增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

（3）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)單增，，此時(shí)分段函數(shù)對(duì)應(yīng)的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則在時(shí)，也時(shí)單增，不可能使得

有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，，要使有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即應(yīng)介于如圖所示兩虛線范圍之間，，當(dāng)時(shí)，

，即，

化簡得，，時(shí)取到最小值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增（對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)），則，

故，故