Question

【題目】已知橢圓 ： ，右頂點為 ，離心率為 ，直線 ： 與橢圓 相交于不同的兩點 ， ，過 的中點 作垂直于 的直線 ，設(shè) 與橢圓 相交于不同的兩點 ， ，且 的中點為 ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）設(shè)原點 到直線 的距離為 ，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 得 ．（Ⅱ）由 得 ，
設(shè) ， ，則
故 ．
: ，即 ．
由 得 ，
設(shè) ， ,
則 ，
故 ．
故 = ．
又 ．
所以 = ． 令 ，
則 = ．
【解析】（Ⅰ）運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，可得中點的坐標(biāo)，再設(shè)直線CD的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式和點到直線的距離公式，再由二次函數(shù)的最值，即可得到范圍．