Question

在平面上，設h_a，h_b，h_c是三角形ABC三條邊上的高．P為三角形內(nèi)任一點，P到相應三邊的距離分別為p_a，p_b，p_c，我們可以得到結論：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

=1試通過類比，寫出在空間中的類似結論

 

Answer 1

分析：本題是一道有關三角形與三棱錐的歸納類比題，這類題的特點是：往往并不需要證明結論，主要考查考生的創(chuàng)新精神，是否會觀察，會抽象概括，會用類比的方法得出新的一般性的結論．這類題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，經(jīng)常以數(shù)列或解析幾何或立體幾何等知識為載體．

解答：解：設h_a，h_b，h_c，h_d三棱錐A-BCD四個面上的高．
P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點，
P到相應四個面的距離分別為p_a，p_b，p_c，p_d
我們可以得到結論：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
V_P-ABC+V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-DAB=V，V=V_D-ABC=V_A-BCD=V_B-CDA=V_C-DAB，
即

VP-ABC

VD-ABC

+

VP-BCD

VA-BCD

+

VP-CDA

VB-CDA

+

VP-DAB

VC-DAB

=1，

1 3 SABC•pd

1 3 SABC•hd

+

1 3 SBCD•pa

1 3 SBCD•ha

+

1 3 SCDA•pb

1 3 SCDA•hb

+

1 3 SDAB•pc

1 3 SDABhc

=1，
即

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．
故答案為：

pa

ha

+

pb

hb

+

pc

hc

+

pd

hd

=1．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．