Question

【題目】已知為拋物線的焦點，過的直線與交于兩點， 為中點，點到軸的距離為， .

（1）求的值；

（2）過分別作的兩條切線， .請選擇軸中的一條，比較到該軸的距離.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義可得，所以.

（2）由可得，由切線 ①，

②，， 作差比較可得結論.

試題解析：（1）設拋物線的準線為，如圖，過分別作直線的垂線，垂足分別為.

，

所以，所以.

（2）由（1）得，拋物線，

因為直線不垂直于軸，可設.

由，消去得， ，

由韋達定理得， ，

所以.

拋物線，即，故，

因此，切線的斜率為，切線的方程為，

整理得 ①，

同理可得 ②，

聯立①②并消去，得，

把代入①，得，故.

因為， ，

所以到軸的距離相等； 到軸的距離不小于到軸的距離.

（注：只需比較到軸或軸的距離中的一個即可）

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決．