Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求及該切線的方程；

（2）設(shè)，若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】試題分析：（1）先求出（），根據(jù)斜率相等可得，所以，從而利用點斜式可得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與的單調(diào)性，分別求得與，使函數(shù)的值域為，初步判斷，①當(dāng)時，只須，②當(dāng)時，只須對一切恒成立，分別求出的取值范圍，然后求并集即可的結(jié)果.

試題解析：（1）由已知得（），

則，所以，

所以所求切線方程為．

（2）令，得；令，得．　

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以.

而在上單調(diào)遞增，所以.

欲使函數(shù)的值域為，須.

①當(dāng)時，只須，即，所以.

②當(dāng)時， ， ，

只須對一切恒成立，即對一切恒成立，

令 ，得，

所以在上為增函數(shù)，

所以，所以對一切恒成立.

綜上所述： .