設(shè)函數(shù) 
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值;
(2)令)其圖象上任意一點處切線的斜率 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實數(shù)解,求正數(shù)的值.

(1);(2); (3)

解析試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,然后由單調(diào)性確定函數(shù)的最值;(2)先由導(dǎo)函數(shù)求出點P處的切線斜率,然后由恒成立條件,轉(zhuǎn)化為求k的最大值,從而求出實數(shù)的取值范圍;(3)構(gòu)建函數(shù)模型,利用函數(shù)的增減性,分析出方程有唯一解,即函數(shù)有唯一零點的情況,從而得出正數(shù)m的值.
試題解析:(1)依題意,知f(x)的定義域為(0,+∞),
當(dāng),
, 解得x=1,(∵x>0),
當(dāng)時,,此時f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>1時,,此時f(x)單調(diào)遞減,
所以f(x)的極大值為,此即為最大值.
(2),則有上恒成立,
所以,當(dāng)取得最大值,所以.
(3)因為方程有唯一實數(shù)解,所以有唯一實數(shù)解,
設(shè),則,令,
因為
當(dāng)上單調(diào)遞減;
當(dāng)上單調(diào)遞增;
當(dāng),
,所以,
因為m>0,所以,(*)
設(shè)函數(shù),因為當(dāng)x>0時,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解,
因為h(1)=0,所以方程(*)的解為,即,解得.
考點:1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值;2.用化歸與轉(zhuǎn)化思想處理恒成立問題;3.利用函數(shù)模型處理方程的實根分布

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相關(guān)習(xí)題

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(1設(shè)
(1)當(dāng)時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)的零點個數(shù)

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已知,其中為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為1時,求函數(shù)上的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)上既有極大值又有極小值,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,過點作函數(shù)圖象的切線,試問這樣的切線有幾條?并求這些切線的方程.

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設(shè)函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II) 若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,試確定函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)上的最小值;
(3)試證明:.

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已知.
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)若處有極值,求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)是否存在實數(shù),使在區(qū)間的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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已知函數(shù).
(1)求函數(shù)上的最小值;
(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點、,求實數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且在區(qū)間上的最大值為,求的值;
(3)當(dāng)時,試證明:.

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湖北宜昌“三峽人家”風(fēng)景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益,現(xiàn)對某一景點進(jìn)行改造升級,從而擴(kuò)大內(nèi)需,提高旅游增加值,經(jīng)過市場調(diào)查,旅游增加值萬元與投入萬元之間滿足:,為常數(shù),當(dāng)萬元時,萬元;當(dāng)萬元時,萬元.(參考數(shù)據(jù):,,
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)求該景點改造升級后旅游利潤的最大值.(利潤=旅游收入-投入)

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