【題目】如圖,在三棱柱中,、分別是、的中點.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若這個三棱柱的底面是等邊三角形,側(cè)面都是正方形,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中點,連接、,證明四邊形為平行四邊形,可得出,再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面;
(Ⅱ)取、的中點、,連接、,證明出平面以及,然后以點為坐標原點,、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,計算出平面和平面的法向量,利用空間向量法求出二面角的余弦值.
(Ⅰ)證明:取的中點為,連接、.
、分別為、的中點,,且,
為的中點,且.
且,四邊形為平行四邊形,.
平面,平面,平面;
(Ⅱ)解:設(shè)的中點為,連接,
為等邊三角形 ,∴
側(cè)面都是正方形 ,,,
、平面且,平面,
平面,,,平面.
取中點為,連接,則.
以為原點,以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系,如圖.
設(shè),則、、,
,,
設(shè)平面的法向量為,則,
令,得,
取平面的法向量為.則,
結(jié)合圖形可知,二面角為銳角,其余弦值為.
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【題目】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個,從中任取2個,則互斥而不對立的兩個事件是
A. 至少有一個白球;都是白球 B. 至少有一個白球;至少有一個紅球
C. 至少有一個白球;紅、黑球各一個 D. 恰有一個白球;一個白球一個黑球
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓經(jīng)過,兩點,且圓心在直線:上.
(1)求圓的方程;
(2)從軸上一個動點向圓作切線,求切線長的最小值及對應(yīng)切線方程.
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【題目】有1998名運動員號碼為1~1998這1998個自然數(shù),從中選出若干名運動員參加儀仗隊,但要使剩下的運動員中沒有一個人的號碼數(shù)等于另外兩人的號碼數(shù)的乘積.那么,選為儀仗隊的運動員至少能有多少人?給出你的選取方案,并簡述理由.
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【題目】某校研究性學習小組發(fā)現(xiàn),學生上課的注意力指標隨著聽課時間的變化而變化.老師講課開始時學生的興趣激增,接下來學生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時間,隨后學生的注意力開始分散.該小組發(fā)現(xiàn)注意力指標與上課時刻第分鐘末的關(guān)系如下(,設(shè)上課開始時,t=0):.若上課后第5分鐘末時的注意力指標為140.
(1)求的值;
(2)上課后第5分鐘末和第35分鐘末比較,哪個時刻注意力更集中?
(3)在一節(jié)課中,學生的注意力指標至少達到140的時間能保持多長?
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【題目】氣象意義上,從春季進入夏季的標志為:“連續(xù)5天的日平均溫度不低于22℃”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)):
①甲地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;
②乙地:5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24;
③丙地:5個數(shù)據(jù)的中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8;
則肯定進入夏季的地區(qū)的有( )
A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①
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【題目】已知常數(shù),數(shù)列的前n項和為,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若,,對于任意給定的正整數(shù)k,是否都存在正整數(shù)p、q,使得?若存在,試求出p、q的一組值(不論有多少組,只要求出一組即可);若不存在,請說明理由.
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