【題目】已知關(guān)于x的一元二次函數(shù),分別從集合和中隨機取一個數(shù)和得到數(shù)對.
(1)若, ,求函數(shù)有零點的概率;
(2)若, ,求函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)用列舉法分別列舉出“分別從集合和中隨機取一個數(shù)和得到的數(shù)對”和使“函數(shù)有零點的數(shù)對”所包含的基本事件,再根據(jù)古典概型的計算公式即可得出結(jié)果;
(2)先根據(jù)求出所有的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積;再求出函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積,由幾何概型的計算公式即可得出結(jié)果.
(1)由已知得, ,
則分別從集合和中隨機取一個數(shù)和得到數(shù)對的所有可能的情況有: , , , , , , , , , , , , , , , , , ,共有18對.
要使有零點,則需滿足,可得滿足條件的有序數(shù)對有, ,
, , , ,共有6對.
由古典概型概率公式可得所求概率為.
故函數(shù)有零點的概率為.
(2)由題意得所有的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為.
要使單調(diào)遞增,則需滿足,即.
設(shè)“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”為事件A,
則事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域為.
由幾何概型概率公式可得.
故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通項公式an;
(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且定義域為.
(1)求關(guān)于的方程在上的解;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值;
(3)若是展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和,數(shù)列是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列,試用數(shù)學(xué)歸納法證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an , bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=﹣2,點(a8 , 4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2﹣ ,求數(shù)列{ }的前n項和Tn .
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【題目】設(shè)常數(shù)a使方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0,2π]上恰有三個解x1 , x2 , x3 , 則x1+x2+x3= .
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【題目】下列結(jié)論正確的是( )
A. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點
B. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可能有零點,且零點個數(shù)為偶數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點,且零點個數(shù)為奇數(shù)
D. 函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點,但是零點個數(shù)不確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件最為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
直徑/mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算,樣本的平均值μ=65,標準差=2.2,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為X,并根據(jù)以下不等式進行評判(p表示相應(yīng)事件的頻率):①p(μ﹣σ<X≤μ+σ)≥0.6826.②P(μ﹣σ<X≤μ+2σ)≥0.9544③P(μ﹣3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974.評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙,若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為。嚺袛嘣O(shè)備M的性能等級.
(2)將直徑小于等于μ﹣2σ或直徑大于μ+2σ的零件認為是次品
(i)從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY;
(ii)從樣本中隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)在頸椎病患者越來越多,甚至大學(xué)生也出現(xiàn)了頸椎病,年輕人患頸椎病多與工作、生活方式有關(guān),某調(diào)查機構(gòu)為了了解大學(xué)生患有頸椎病是否與長期過度使用電子產(chǎn)品有關(guān),在遂寧市中心醫(yī)院隨機的對入院的50名大學(xué)生進行了問卷調(diào)查,得到了如下的4×4列聯(lián)表:
未過度使用 | 過度使用 | 合計 | |
未患頸椎病 | 15 | 5 | 20 |
患頸椎病 | 10 | 20 | 30 |
合計 | 25 | 25 | 50 |
(1)是否有99.5%的把握認為大學(xué)生患頸錐病與長期過度使用電子產(chǎn)品有關(guān)?
(2)已知在患有頸錐病的10名未過度使用電子產(chǎn)品的大學(xué)生中,有3名大學(xué)生又患有腸胃炎,現(xiàn)在從上述的10名大學(xué)生中,抽取3名大學(xué)生進行其他方面的排查,記選出患腸胃炎的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)與公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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