Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求的極大值；

（Ⅱ）若函數(shù)的極小值大于零，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極大值為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值；

（Ⅱ）求得，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出該函數(shù)的極小值，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，，

令，得或.

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)的極大值為；

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，．

①當(dāng)時，對任意的恒成立，

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的極小值為，所以不合題意．

②當(dāng)時，令解得或.

（i）當(dāng)時，即當(dāng)時，

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以函數(shù)的極小值為，

可得，得，

結(jié)合，有，解得；

（ii）當(dāng)時，對任意的，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值；

（iii）當(dāng)時，即當(dāng)時，

當(dāng)或時，；當(dāng)時，.

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以，函數(shù)的中極小值為，解得.

結(jié)合，所以．

綜上所述，的取值范圍是．