【題目】已知函數(shù),m∈R
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若m∈(-1,0),證明:對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行判斷即可.
(2)將不等式進行轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x+,則不等式轉(zhuǎn)化為最值問題進行求解即可.
解:(1)
①當(dāng)1>1-m,即m>0時,(-∞,1-m)和(1,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調(diào)減;(1-m,1)上f′(x)>0,f(x)單調(diào)增
②當(dāng)1=1-m,即m=0時,(-∞,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調(diào)減
③當(dāng)1<1-m,即m<0時,(-∞,1)和(1-m,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調(diào)減;(1,1-m)上f′(x)>0,f(x)單調(diào)增
(2)對任意的x1,x2∈[1,1-m],4f(x1)+x2<5可轉(zhuǎn)化為,
設(shè)g(x)=-x+,則問題等價于x1,x2∈[1,1-m],f(x)max<g(x)min
由(1)知,當(dāng)m∈(-1,0)時,f(x)在[1,1-m]上單調(diào)遞增,,
g(x)在[1,1-m]上單調(diào)遞減,,
即證,化簡得4(2-m)<e1-m[5-(1-m)]
令1-m=t,t∈(1,2)
設(shè)h(t)=et(5-t)-4(t+1),t∈(1,2),
h′(t)=et(4-t)-4>2et-4>0,故h(t)在(1,2)上單調(diào)遞增.
∴h(t)>h(1)=4e-8>0,即4(2-m)<e1-m[5-(1-m)]
故,得證.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一列非零向量滿足:,,其中是正數(shù)
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:當(dāng)時,向量與的夾角為定值;
(3)當(dāng)時,把中所有與共線的向量按原來的順序排成一列,記為,令,為坐標(biāo)原點,求點列的極限點的坐標(biāo).(注:若點坐標(biāo)為,且,則稱點為點列的極限點)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐P–ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中點,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,則異面直線PC,AD所成角的余弦值為
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中,共調(diào)查了110人,其中女性50人,男性60人.女性中有30人主要的休閑方式是看電視,另外20人主要的休閑方式是運動;男性中有20人主要的休閑方式是看電視,另外40人主要的休閑方式是運動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;
(2)判斷是否有99%的把握認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系.
下面臨界值表供參考:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(參考公式:)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如表:
空氣質(zhì)量指數(shù) | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空氣質(zhì)量等級 | 1級優(yōu) | 2級良 | 3級輕 度污染 | 4級中度污染 | 5級重 度污染 | 6級嚴(yán)重污染 |
由全國重點城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得10月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖:
(1)試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù),計算甲、乙兩個城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差;
(2)試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為2級良的概率;
(3)分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個,試求兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的概率.供參考數(shù)據(jù):292+532+572+752+1062=23760,432+412+552+582+782=16003
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標(biāo)系中,已知,點是三角形木板內(nèi)一點,現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞,要把損壞部分鋸掉,可用經(jīng)過點的任一直線將三角形木板鋸成.設(shè)直線的斜率為.
(Ⅰ)求點的坐標(biāo)及直線的斜率的范圍;
(Ⅱ)令的面積為,試求出的取值范圍;
(Ⅲ)令(Ⅱ)中的取值范圍為集合,若對恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了診斷高三學(xué)生在市“一模”考試中文科數(shù)學(xué)備考的狀況,隨機抽取了50名學(xué)生的市“一模”數(shù)學(xué)成績進行分析,將這些成績分為九組,第一組[60,70),第二組[70,80),……,第九組[140,150],并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)試求出的值并估計該校文科數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)現(xiàn)從成績在[120,150]的同學(xué)中隨機抽取2人進行談話,那么抽取的2人中恰好有一人的成績在[130,140)中的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,假命題的個數(shù)是( )
(1)若直線a在平面上,直線b不在平面上,則a,b是異面直線;
(2)若a,b是異面直線、則與a,b都垂直的直線有且只有一條
(3)若a,b是異面直線、若c,d與直線a,b都相交,則c,d也是異面直線
(4)設(shè)a,b是兩條直線,若平面,,則平面.
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的頂點,邊上的中線所在的直線方程是,AC邊上的高所在的直線方程是.
求:(1)AC邊所在的直線方程;
(2)AB邊所在的直線方程.
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