Question

已知x，a∈R，a＞1，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則a=    ；公共點(diǎn)坐標(biāo)是    ．

Answer 1

【答案】分析：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，利用直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即可求得結(jié)論．
解答：解：構(gòu)造新函數(shù)g（x）=log_ax-x，g′（x）=，
令=0，有x=，
因?yàn)閍＞1，當(dāng)時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)時(shí)，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=處有最大值g（），
當(dāng)g（）時(shí)，直線y=x與函數(shù)f（x）=log_ax有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即log_a（）=，
∴l(xiāng)n（lna）=-1，lna=，∴
則y=，即公共點(diǎn)坐標(biāo)是（a，e），
故答案為：，（a，e）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)等知識(shí)解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．