Question

【題目】設函數(shù)f（x）=ex﹣ （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈（﹣1，+∞）時，證明：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex﹣ ，f（1）=e﹣2，

f′（x）=ex﹣（x+1），f′（1）=e﹣2，

∴切線方程是：y﹣e+2=（e﹣2）（x﹣1），

即y=（e﹣2）x；

（2）解：f′（x）=ex﹣（x+1），f″（x）=ex﹣1，（x＞﹣1），

令f″（x）＞0，解得：x＞0，令f″（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，

∴f′（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

∴f′（x）＞f′（0）=0，

∴f（x）在（﹣1，+∞）遞增，

∴f（x）＞f（﹣1）= ＞0

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1），求出切線方程即可；（2）求出f（x）的導數(shù)，得到f（x）遞增，從而證出結論即可．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，需要了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．