已知平面內(nèi)一動點 P到定點的距離等于它到定直線的距離，又已知點 O（0，0），M（0，1）．
（1）求動點 P的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)點 P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線所得的弦長；
（3）當(dāng)點 P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A，過點 P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點 B，問：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．
【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的定義判定出動點 P是以為焦點以為準(zhǔn)線的拋物線，直接寫出其方程為x2=2y
（2）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓的方程，根據(jù)直線截圓的弦長公式弦長l=2求出該圓截直線所得的弦長
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用直線的點斜式求出切線l的方程為，利用點到直線的距離公式求出B到PA的距離為，再求出點B到直線PF的距離，根據(jù)角平分線的判定得到總有PB平分∠APF．
解答：解：（1）根據(jù)題意，動點 P是以為焦點以為準(zhǔn)線的拋物線，
所以p=1開口向上，
所以動點 P的軌跡C的方程為x2=2y
（2）以 M P為直徑的圓的圓心（），|MP|===
所以圓的半徑r=，圓心到直線的距離d=||=，
故截得的弦長l=2==1
（3）總有 P B平分∠A PF．
證明：因為
所以，y′=x，．
所以切線l的方程為，
令y=0得，
所以B（）
所以B到PA的距離為
下面求直線PF的方程，
因為
所以直線PF的方程為整理得
所以點B到直線PF的距離
所以 PB平分∠APF．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；直線與圓相交的弦長公式；點到直線的距離公式以及角平分線的判定，屬于一道綜合題．
練習(xí)冊系列答案
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已知平面內(nèi)一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求
AD
•
EB
的最小值．

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已知平面內(nèi)一動點P到F（1，0）的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線x=-1于M點，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)一動點P到定點F（2，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點，O為坐標(biāo)原點，點M為軌跡C上一點，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•汕頭二模）已知平面內(nèi)一動點 P到定點F(0，
1
2
)的距離等于它到定直線y=-
1
2
的距離，又已知點 O（0，0），M（0，1）．
（1）求動點 P的軌跡C的方程；
（2）當(dāng)點 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線y=
1
2
所得的弦長；
（3）當(dāng)點 P（x0，y0）（x0≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A，過點 P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點 B，問：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面內(nèi)一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點N（4，2）的直線m，使得直線m被曲線C所截得的弦AB恰好被點N平分？如果存在，求出直線m的方程；不存在，請說明理由．

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