Question

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)N（4，2）的直線m，使得直線m被曲線C所截得的弦AB恰好被點(diǎn)N平分？如果存在，求出直線m的方程；不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，可得當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線；當(dāng)x＜0時(shí)，y=0也滿足題意；
（2）由題意，直線m的斜率存在，設(shè)方程為y-2=k（x-4），與拋物線方程聯(lián)立，消去x，利用（4，2）是中點(diǎn)，求出斜率，驗(yàn)證△，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)P到F的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，方程為y²=4x（x≥0）；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=0．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意，直線m的斜率存在，設(shè)方程為y-2=k（x-4），與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得ky²-4y-8+4k=0①，
∴2=

y1+y2

2

=

2

k

，
∴k=1，此時(shí)①中△恒大于0，
∴直線m存在，其方程為y=x-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定拋物線的方程，利用韋達(dá)定理解題．