已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，頂點(diǎn)B，C在平面α的同一側(cè)，D為BC的中點(diǎn)，若△ABC在平面α內(nèi)的射影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形，則直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為______．
如圖所示，不妨設(shè)AB=2．則AD=
3
．
假設(shè)一開始正△ABC在平面α內(nèi)時(shí)的位置，則∠BAC=60°．
而當(dāng)BC∥α?xí)r，其B、D、C三點(diǎn)的射影分別為B1，D1，C1時(shí)，且∠B1AC1=90°．
∠DAD1為直線AD與平面α所成角且最小．
則AD1=
1
2
B1C1=
1
2
BC=1，∴DD1=
AD2-A
D21
=
2
．
此時(shí)sin∠DAD1=
DD1
AD
=
2
3
=
6
3
．
當(dāng)BC與平面α部平行時(shí)，可以看出：其DD1長(zhǎng)度必然增大．
因此直線AD與平面α所成角的正弦值的最小值為
6
3
．
故答案為
6
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

點(diǎn)E是正四面體ABCD的棱AD的中點(diǎn)，則異面直線BE與AC所成的角的余弦值為（　�。�
A．
3
6
B．
3
3
C．
6
3
D．
5
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)120°的二面角，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C1，這時(shí)異面直線AD與BC1所成的角的余弦值是（　�。�
A．
2
2
B．
1
2
C．
3
4
D．
3
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC，P為C1D1上一點(diǎn)，則異面直線PB與B1C所成角的大小（　�。�
A．是45°B．是60°
C．是90°D．隨P點(diǎn)的移動(dòng)而變化

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)AB=2，側(cè)棱BB1的長(zhǎng)為4，E為C1C上的點(diǎn)，且CE=1，
（1）求證：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中直線A1D與平面AB1C1D所成角為（　　）
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知斜三棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，BC=2，AC=2
3
，AB=2
2
，AA1=A1C=
6
．
（Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，證明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求異面直線A1C與AB成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為AA1、BB1的中點(diǎn)．
求：（1）CM與D1N所成角的余弦值．
（2）D1N與平面MBC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，則PC與面PAB所成角的余弦值為______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案