Question

【題目】已知小矩形花壇ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，現(xiàn)要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN，使點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C.

（1）要使矩形AMPN的面積大于32m2，AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

（2）M，N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最��？若存在，求出這個最小面積及相應(yīng)的AM。

Answer 1

【答案】

（1）（2，）或（8，＋∞）

（2）當(dāng)AM＝6，AN＝4時，Smin＝24.

【解析】

試題分析：

（1）由題如圖，可先設(shè)出所求的量；AM＝x，AN＝y(tǒng)（x>3，y>2），再由矩形的面積公式建立關(guān)系式，另由圖可發(fā)現(xiàn)；△NDC∽△NAM，則可找到長與寬的關(guān)系式，從而建立關(guān)于AN＝y(tǒng)，的二次不等式，求解可得AN的取值范圍；

（2）由題為建設(shè)后矩形面積的最小值，可由（1）得出的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行代數(shù)變形利用均值不等式（注意條件，正，定，相等）可求出相應(yīng)的最小值。

試題解析：

（1）設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)（x>3，y>2），矩形AMPN的面積為S，則S＝xy.

∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，

∴S＝（y>2）．由>32，得2<y<，或y>8，

∴AN的長度應(yīng)在（2，）或（8，＋∞）內(nèi)．

（2）當(dāng)y>2時，S＝＝3（y－2＋＋4）≥3×（4＋4）＝24，

當(dāng)且僅當(dāng)y－2＝，即y＝4時，等號成立，解得x＝6.

∴存在M，N點，當(dāng)AM＝6，AN＝4時，Smin＝24.