【題目】已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1= AB,E是線段CC1的中點(diǎn),連接AE,B1E,AB1 , B1C,BC1 , 得到的圖形如圖所示. (Ⅰ)證明BC1⊥平面AB1C;
(Ⅱ)求二面角E﹣AB1﹣C的大小.
【答案】證明:(Ⅰ)∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1= AB, ∴AC2+BC2=AB2 , ∴AC⊥BC,
以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AC=BC=CC1= AB=1,
則B(0,1,0),C1(0,0,1),A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0),
=(0,﹣1,1), =(﹣1,1,1), =(﹣1,0,0), =(﹣1,0,1),
∴ =0, =0﹣1+1=0,
∴BC1⊥AC,BC1⊥AB1 ,
∵AC∩AB1=A,∴BC1⊥平面AB1C.
解:(Ⅱ)∵BC1⊥平面AB1C,∴ =(0,﹣1,1)是平面AB1C的法向量,
E(0, ,0), =(﹣1,0, ),
設(shè)平面AB1E的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1,2),
設(shè)二面角E﹣AB1﹣C的大小為θ,
則cosθ= = = ,
∴θ=30°.
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小為30°.
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出AC⊥BC,以C為原點(diǎn),CA為x軸,CB為y軸,CC1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明BC1⊥平面AB1C.(Ⅱ)求出平面AB1C的法向量,和平面AB1E的法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角△ABC中,∠BCA=90°,CA=CB=1,P為AB邊上的點(diǎn)且 =λ ,若 ≥ ,則λ的取值范圍是( )
A.[ ,1]
B.[ ,1]
C.[ , ]
D.[ , ]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論: ①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線AM與DD1是異面直線.
其中正確的結(jié)論為(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 )的圖象與x軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為 ,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 . (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)當(dāng) ,求f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理健康教育老師對(duì)某班50個(gè)學(xué)生進(jìn)行了心里健康測(cè)評(píng),測(cè)評(píng)成績(jī)滿分為100分.成績(jī)出來(lái)后,老師對(duì)每個(gè)成績(jī)段的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并得到如圖4所示的頻率分布直方圖.
(1)求a,并從頻率分布直方圖中求出成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)若老師從60分以下的人中選兩個(gè)出來(lái)與之聊天,則這兩人一個(gè)在(40,50]這一段,另一個(gè)在(50,60]這一段的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F1 , F2是橢圓C: =1的焦點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓C上且滿足| + |=2 ,則△MF1F2的面積為( )
A.
B.
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列敘述: ①函數(shù) 是奇函數(shù);
②函數(shù) 的一條對(duì)稱軸方程為 ;
③函數(shù) , ,則f(x)的值域?yàn)? ;
④函數(shù) 有最小值,無(wú)最大值.
所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合題
(1)已知α為第二象限角,且 sinα= ,求 的值.
(2)已知α∈(0, ),β∈(0,π),且tan(α﹣β)= ,tanβ=﹣ ,求tan(2α﹣β)的值及角2α﹣β.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校有教職員工150人,其中高級(jí)職稱15人,中級(jí)職稱45人,一般職員90人,現(xiàn)在用分層抽樣抽取30人,則樣本中各職稱人數(shù)分別為( )
A.5,10,15
B.3,9,18
C.3,10,17
D.5,9,16
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