Question

已知奇函數(shù)f(x)=

a•2x+b

2x-1

的反函數(shù)f^-1（x）的圖象過點A（-3，1）．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）解關(guān)于x的不等式f^-1（x）＞-1．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0可知a=-

3

20

，由此能求出實數(shù)a，b的值．
（2）設(shè)銷售利潤為g（t）萬元，則g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

，由分類討論并由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能夠求出關(guān)于x的不等式f^-1（x）＞-1的解．

解答：解：（1）設(shè)f（t）=a（t-20）²+60，
由f（0）=0，
可知a=-

3

20

即f(t)=-

3

20

(t-20)2+60=-

3

20

t2+6t（0＜t≤40，t∈N）
（2）設(shè)銷售利潤為g（t）萬元，
則g(t)=

2t(- 3 20 t2+6t)  (0＜t＜30) 60(- 3 20 t2+6t)  (30≤t≤40)

當(dāng)30≤t≤40時，g（t）單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜t≤30時，g′(t)=-

9

10

t2+24t，
易知g（t）在(0，

80

3

)單調(diào)遞增，在(

80

3

，30)單調(diào)遞減
而t∈N，故比較g（26），g（27），
經(jīng)計算，g（26）=2839.2＜g（27）=2843.1，
故第一批產(chǎn)品A上市后的第27天這家公司日銷售利潤最大，
最大利潤是2843.1萬元．

點評：本題考查實數(shù)a，b的求法和關(guān)于x的不等式f^-1（x）＞-1．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．