Question

已知奇函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在（-1，1）上是增函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

①確定函數(shù)f（x）的解析式．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：①利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，可求b，結(jié)合f(

1

2

)=

2

5

可求a，從而可求f（x）
②由f（x）為奇函數(shù)及f（t-1）+f（t）＜0 可得 f（t-1）＜f（-t），結(jié)合函數(shù)在（-1，1）上的單調(diào)性可得

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解不等式可求

解答：解：①因為 f(x)=

ax+b

x2+1

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)
則 f（0）=0，得b=0
又因  f(

1

2

)=

2

5

則  

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

解得a=1
∴f(x)=

x

x2+1

②因奇函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
由f（t-1）+f（t）＜0得f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
所以有  

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

，解得  0＜t＜

1

2

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，及利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式，抽象函數(shù)奇偶性及單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用．