Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）令，可將已知三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成代數(shù)函數(shù)關(guān)系，試寫出函數(shù)的解析式及定義域；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)嗎？若是，請指出其單調(diào)性；若不是，請分別指出其單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間（不需要證明）.

（參考公式：）

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）；（3）不是單調(diào)函數(shù)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

【解析】

（1）對t＝sinx+cosx兩邊平方得2sinxcosx＝t2﹣1，代入f（x）即可得出g（t）的解析式，由t＝sinx+cosxsin（x）得出t的取值范圍；

（2）化簡g（t），判斷g（t）的單調(diào)性得出g（t）的最大值，即f（x）的最大值；

（3）判斷f（x）的極大值點是否為區(qū)間（0，）的端點即可．

（1）∵t＝sinx+cosx，

∴t2＝1+2sinxcosx，

∴2sinxcosx＝t2﹣1．

∴f（x）．

即g（t）．

∵t＝sinx+cosxsin（x）．

∵x∈（0，），

∴x∈（.）．

∴1＜t．

∴g（t）的定義域為（1，]．

（2）g（t）t1t．

∵y＝t和y在（1，]上是增函數(shù)，

∴g（t）在（1，]上是增函數(shù)．

∴當(dāng)t時g（t）取得最大值g（）．

∴f（x）的最大值是．

（3）f（x）在（0，）上不是單調(diào)函數(shù)．

由（2）可知當(dāng)t時f（x）取得最大值，

即t＝sinx+cosxsin（x）．

∴x，于是x．

∴fmax（x）＝f（），

∴f（x）在（0，）上不是單調(diào)函數(shù)．在（0，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減.