【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)= +alnx﹣3x,g(x)=﹣x2+8x,且x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).
(1)求a的值.
(2)如果函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(b,b+1)上均為增函數(shù),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】
(1)解:因?yàn)楹瘮?shù) (x>0)

所以f′(x)=x+ ﹣3,(x>0),

又因?yàn)閤=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).

所以 ,解得a=2

檢驗(yàn):當(dāng)a=2時(shí), (x>0)

當(dāng)x∈(0,1),(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,

所以x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),a=2符合題意


(2)解:g(x)=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)

又由(1)可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(2,+∞)

所以依題意得

解得 b=0或 2≤b≤3

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是{0}∪[2,3]


【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù) (x>0),求出導(dǎo)函數(shù),利用x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn).求出a.然后驗(yàn)證即可.(2)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.又由(1)可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(2,+∞),列出不等式組,求解b 的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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與教育有關(guān)

與教育無關(guān)

合計(jì)

30

10

40

35

5

40

合計(jì)

65

15

80

1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下,認(rèn)為師范類畢業(yè)生從事與教育有關(guān)的工作與性別有關(guān)

參考公式:).

附表:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.023

6.635

2)求這80位師范類畢業(yè)生從事與教育有關(guān)工作的頻率;

3)以(2)中的頻率作為概率.該校近幾年畢業(yè)的2000名師范類大學(xué)生中隨機(jī)選取4名,記這4名畢業(yè)生從事與教育有關(guān)的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.

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