Question

（本題12分）已知集合是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：

①在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；

②在的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上的值域是．

(1)判斷函數(shù)是否屬于集合？并說明理由．若是，則請求出區(qū)間；

(2)若函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）函數(shù)屬于集合，且這個(gè)區(qū)間是

（2）

【解析】

解： (1)的定義域是，    在上是單調(diào)增函數(shù)．

設(shè)在上的值域是．由  解得：

故函數(shù)屬于集合，且這個(gè)區(qū)間是

 

 (2) 設(shè)，則易知是定義域上的增函數(shù)．

  ，存在區(qū)間，滿足，．

即方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．

[法1]：方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令則其化為:

即有兩個(gè)非負(fù)的不等實(shí)根,

從而有:；

[法2]：要使方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，

即使方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．

如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，

方程兩邊平方，

得，由，得．

因此，利用數(shù)形結(jié)合得實(shí)數(shù)的取值范圍是．