【題目】設(shè)、分別是橢圓C：的左、右焦點，，直線1過且垂直于x軸，交橢圓C于A、B兩點，連接A、B、，所組成的三角形為等邊三角形。

（1）求橢圓C的方程；

（2）過右焦點的直線m與橢圓C相交于M、N兩點，試問：橢圓C上是否存在點P，使成立？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】（1）橢圓；（2）

【解析】

（1）由題意布列關(guān)于a，b的方程組，解之，即可得到橢圓C的方程；

（2）設(shè)、，設(shè)y＝k（x﹣1）（k≠0），代入橢圓方程得，由此運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入橢圓方程，解得k，求出點P的坐標(biāo)．

（1）

由可得，

等邊三角形中：，，

則，得，

又因為，所以，

則橢圓；

（2）設(shè)、,

則由題意知的斜率為一定不為,故不妨設(shè),
代入橢圓的方程中,

整理得,
顯然.
由韋達(dá)定理有:,①
且②
假設(shè)存在點,使成立,則其充要條件為:

點,
點在橢圓上,即.
整理得
又在橢圓上,即,，
故由①②代入：，解得,

則。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個交點．求證：⊥.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，等腰梯形MNCD中，MD∥NC，MN＝MD＝2，∠CDM＝60°，E為線段MD上一點，且ME＝3，以EC為折痕將四邊形MNCE折起，使MN到達(dá)AB的位置，且AE⊥DC

(1)求證:DE⊥平面ABCE;

(2)求點A到平面DBE的距離

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．

（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2018·湖南師大附中摸底)已知直線l經(jīng)過點P(－4，－3)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】A市某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦2034年足球世界杯的態(tài)度，隨機(jī)選取了140位市民進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:

支持

不支持

合計

男性市民

60

女性市民

50

合計

70

140

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）若在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教師，求從這5人中隨機(jī)抽取3人至多有1人是教師的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為，橢圓的中心在原點，為其右焦點，點為曲線和在第一象限的交點，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為拋物線上的兩個動點，且使得線段的中點在直線上，

為定點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于任意實數(shù)，定義設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年12月18日上午10時，在人民大會堂舉行了慶祝改革開放40周年大會．40年眾志成城，40年砥礪奮進(jìn)，40年春風(fēng)化雨，中國人民用雙手書寫了國家和民族發(fā)展的壯麗史詩．會后，央視媒體平臺，收到了來自全國各地的紀(jì)念改革開放40年變化的老照片，并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”，其作者年齡集中在之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，做出頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）求這100位作者年齡的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，作者年齡X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平

均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ii）央視媒體平臺從年齡在和的作者中，按照分層抽樣的方法，抽出了7人參加“紀(jì)念改革開放40年圖片展”表彰大會，現(xiàn)要從中選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間的人數(shù)是Y，求變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，若，則，

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