Question

已知函數(shù)（）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？若存在，請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；（3）的取值范圍是．

試題分析：（1）首先求導(dǎo)：，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定其單調(diào)性．時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)減；（2）首先分離參數(shù).由，得.令（），下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合圖象便可得知的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）注意是一個(gè)確定的函數(shù)，為了弄清何時(shí)成立，首先弄清與的大小關(guān)系，然后利用（1）題的結(jié)果即可知道， 取何值時(shí)在上恒成立.
（1）由，則．
當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，
此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． 4分
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045357713470.png" style="vertical-align:middle;" />，由，得（）， 5分
令（），則， 6分
由于，，可知當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故． 7分
又由（1）知當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，即，
（隨著的增長(zhǎng)，的增長(zhǎng)速度越越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度則會(huì)越越慢．則當(dāng)且無限接近于0時(shí)，趨向于正無窮大.）
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)． 9分
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，，故對(duì)，
先分析法證明：，． 10分
要證，，
只需證，
即證，
構(gòu)造函數(shù)，則，
故函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，則成立． 12分
當(dāng)時(shí)，由（1），在單調(diào)遞增，則在上恒成立；
當(dāng)時(shí)，由（1），函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，，所以，則不滿足題意．
所以滿足題意的的取值范圍是． 14分