【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為 ,(t為參數(shù)),在以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為 ,A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)P是圓C上任一點(diǎn),求△PAB面積的最小值.

【答案】
(1)解:由 ,化簡得: ,

消去參數(shù)t,得(x+5)2+(y﹣3)2=2,

∴圓C的普通方程為(x+5)2+(y﹣3)2=2.

由ρcos(θ+ )=﹣ ,化簡得 ρcosθ﹣ ρsinθ=﹣ ,

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2,即x﹣y+2=0,

則直線l的直角坐標(biāo)方程為x﹣y+2=0


(2)解:將A(2, ),B(2,π)化為直角坐標(biāo)為A(0,2),B(﹣2,0),

∴|AB|= =2

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣5+ cost,3+ sint),

∴P點(diǎn)到直線l的距離為d= = ,

∴dmin= =2 ,

則△PAB面積的最小值是S= ×2 ×2 =4.


【解析】(1)由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程,由直線l的極坐標(biāo)方程,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡,根據(jù)x=ρcosθ,y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可;(2)將A與B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),并求出|AB|的長,根據(jù)P在圓C上,設(shè)出P坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離,利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值,即可確定出三角形PAB面積的最小值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用圓的參數(shù)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握圓的參數(shù)方程可表示為

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)問是否存在過左焦點(diǎn)的直線,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.

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(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍;
(3)是否存在定直線l,使得直線BP與直線OM關(guān)于直線l對稱?若存在,求直線l方程,若不存在,請說明理由.

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