Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點，設為橢圓上一動點，且滿足（為坐標原點）.當時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）根據所給離心率及四邊形面積，結合橢圓中，解方程組即可確定的值，進而得橢圓的方程；

（2）設，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由判別式可確定的范圍；由韋達定理可表示出，將代入直線方程可表示出.由平面向量的坐標運算，表示出點的坐標，代入橢圓方程即可建立與的關系式，由進一步確定的取值范圍即可.

（1）橢圓的離心率為，則，

以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的面積為，則，

再有，

聯(lián)立上述等式可得，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）直線與橢圓相交于，兩點，設，

則聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡可得，

則，

可知，

解得或；

而

所以，

因為，

所以 ，代入可得

因為點P在橢圓上，

代入可得，化簡可得，

因為，

所以，化簡可得，

所以，即，

又因為或；

所以