【題目】已知函數(shù),(是的導(dǎo)函數(shù)),在上的最大值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并加以證明.
【答案】(1)(2)在上共有兩個(gè)極值點(diǎn),詳見解析
【解析】
(1)先求得,再求得,再討論的符號(hào),判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求最值即可得解;
(2)利用(1)的結(jié)論,結(jié)合,,由零點(diǎn)定理可在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn);再當(dāng)時(shí),由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可使,即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,再結(jié)合特殊變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)可得在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),綜合即可得解.
解:(1)由
則,
則,
①當(dāng)時(shí),不合題意,舍去.
②當(dāng)時(shí),∴在上單調(diào)遞減,∴,不合題意,舍去.
③當(dāng)時(shí),∴在上單調(diào)遞增,∴,解得,
∴綜上:.
(2)由(Ⅰ)知,,
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,,,
∴在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞減.
又,,
∴使且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),
∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
又,,,∴在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).
∴在和上各有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),∴在上共有兩個(gè)極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】眾所周知,城市公交車的數(shù)量太多會(huì)造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客的需求,為此,某市公交公司在某站臺(tái)的50名候車乘客中隨機(jī)抽取10名,統(tǒng)計(jì)了他們的候車時(shí)間(單位:分鐘),得到下表.
候車時(shí)間 | 人數(shù) |
1 | |
4 | |
2 | |
2 | |
1 |
(1)估計(jì)這10名乘客的平均候車時(shí)間(同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(2)估計(jì)這50名乘客的候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng).
(1)設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn),求線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
(2)求過(guò)點(diǎn)的直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)一條漸近線方程為,且與橢圓有相同的焦點(diǎn);
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與雙曲線有共同的漸近線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,,E,F分別是棱PC,AB的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAD;
(2)若,求直線EF與平面PAB所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一塊半徑為20米,圓心角的扇形展示臺(tái),展示臺(tái)分成了四個(gè)區(qū)域:三角形,弓形,扇形和扇形(其中).某次菊花展依次在這四個(gè)區(qū)域擺放:泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預(yù)計(jì)這三種菊花展示帶來(lái)的日效益分別是:泥金香50元/米,紫龍臥雪30元/米,朱砂紅霜40元/米.
(1)設(shè),試建立日效益總量關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試探求為何值時(shí),日效益總量達(dá)到最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某地區(qū)年齡在25~55歲的人員中,隨機(jī)抽出100人,了解他們對(duì)今年兩會(huì)的熱點(diǎn)問(wèn)題的看法,繪制出頻率分布直方圖如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 抽出的100人中,年齡在40~45歲的人數(shù)大約為20
B. 抽出的100人中,年齡在35~45歲的人數(shù)大約為30
C. 抽出的100人中,年齡在40~50歲的人數(shù)大約為40
D. 抽出的100人中,年齡在35~50歲的人數(shù)大約為50
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個(gè)人安排到座位號(hào)分別是的四個(gè)座位上,他們分別有以下要求,
甲:我不坐座位號(hào)為和的座位;
乙:我不坐座位號(hào)為和的座位;
丙:我的要求和乙一樣;
。喝绻也蛔惶(hào)為的座位,我就不坐座位號(hào)為的座位.
那么坐在座位號(hào)為的座位上的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
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