Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（2 ， ），曲線C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)）．
（1）直線l過M且與曲線C相切，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱，求曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：M的直角坐標(biāo)為（2，2），曲線C的普通方程為（x﹣1）2+y2=4．

設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2）+2，

聯(lián)立方程組 得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，

∵直線l與曲線C相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，

解得k=0或k=﹣ ．

∴直線l的方程為y=2或y=﹣ （x﹣2）+2，即4x+3y﹣8=0，

∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣8=0

（2）解：點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（﹣2，2），C（1，0）．

CN= = ，圓C的半徑為2．

∴曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離最大值為 +2，最小值為 ﹣2．

曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的距離的取值范圍是[ ﹣2， +2]

【解析】（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣2）+2，圓曲線C的普通方程聯(lián)立消元，令判別式等于0求出k，得出直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程；（2）求出N到圓心的距離，即可得出最值．