【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為F,過點F的直線交y軸于點N,交橢圓C于點A、P(P在第一象限),過點P作y軸的垂線交橢圓C于另外一點Q.若 .
(1)設(shè)直線PF、QF的斜率分別為k、k',求證: 為定值;
(2)若 且△APQ的面積為 ,求橢圓C的方程.
【答案】
(1)解:設(shè)焦點F(c,0),由c2=a2﹣b2,P(x1,y1),則Q(﹣x2,y2),
∴直線PF的斜率k= ,QF的斜率k'= ,
∵ .
∴c=2(x2﹣c),即x2= c
∴k= = ,k'= = ,
∴k=﹣5k',即 =﹣5為定值.
(2)解:若 , 則丨AF丨=3丨FP丨,
,解得:A(﹣ c,﹣3y1)
∵點A、P在橢圓C上,則 ,
整理得: =8,解得: = ,
則 ,代入得: = , = ,
∵△APQ的面積為S△APQ= 3c4y1=6cy1= ,
解得:c2 = ,
∴c2=4,
∴橢圓方程為:
【解析】(1)由題意可知:設(shè)P(x1 , y1),則Q(﹣x2 , y2),由 .解得:x2= c,由直線的斜率公式k= = ,k'= = , =﹣5為定值;(2)由 , , ,求得A點坐標(biāo),代入橢圓方程,解得 = ,由c2=a2﹣b2 , ,因此 = , = ,由三角形的面積公式可知:S△APQ= 3c4y1=6cy1= ,求得c2 = ,即可求得c的值,求得橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點Q在直線上,且。證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,焦距為2.(14分)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)如圖,該直線l:y=k1x﹣ 交橢圓E于A,B兩點,C是橢圓E上的一點,直線OC的斜率為k2 , 且看k1k2= ,M是線段OC延長線上一點,且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半徑為|MC|,OS,OT是⊙M的兩條切線,切點分別為S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值時直線l的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+y2﹣2x+a=0.
(1)若a=﹣8,過點P(4,5)作圓M的切線,求該切線方程;
(2)若AB為圓M的任意一條直徑,且 =﹣6(其中O為坐標(biāo)原點),求圓M的半徑.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】動點在拋物線上,過點作垂直于軸,垂足為,設(shè).
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)點,過點的直線交軌跡于兩點,直線的斜率分別為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,圓O的參數(shù)方程為(為參數(shù)).過點()且傾斜角為的直線與圓O交于A、B兩點.
(1)求的取值范圍;
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,,ABED是邊長為1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,若G,F(xiàn)分別是EC,BD的中點.
(1)求證:GF∥底面ABC;
(2)求證:AC⊥平面EBC;
(3)求幾何體ADEBC的體積V.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)恰好是數(shù)列{an}的前n項和Sn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足 ,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 求證:Tn<1.
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