【題目】某鮮花小鎮(zhèn)圈定一塊半徑為1百米的圓形荒地,準備建成各種不同鮮花景觀帶.為了便于游客觀賞,準備修建三條道路AB,BC,CA,其中A,B,C分別為圓上的三個進出口,且A,B分別在圓心O的正東方向與正北方向上,C在圓心O南偏西某一方向上.在道路AC與BC之間修建一條直線型水渠MN種植水生觀賞植物黃鳶尾(其中點M,N分別在BC和CA上,且M在圓心O的正西方向上,N在圓心O的正南方向上),并在區(qū)域MNC內(nèi)種植柳葉馬鞭草.
(1)求水渠MN長度的最小值;
(2)求種植柳葉馬鞭草區(qū)域MNC面積的最大值(水渠寬度忽略不計).
【答案】(1)百米;(2)平方米.
【解析】
(1)設,可表示出直線的方程,從而求得兩點坐標,進而將表示為關于的函數(shù),利用導數(shù)求得最值;(2)方法一:將表示為,利用將面積表示出來,利用進行換元,從而化簡得:,再根據(jù)的范圍求得面積最大值;方法二:利用三角形面積公式,直接用表示出,再利用換元,也可得到,從而與方法一采用相同的求最大值方法求值.
【解】(1)以圓心為原點,建立平面直角坐標系,則圓的方程為
設點,
直線的方程為,令,得
直線的方程為,令,得
所以
令,
即,
則
令,得
當時,,則單調(diào)遞減;
當時,,則單調(diào)遞增;
所以當時,
所以
水渠長度的最小值為百米
(2)由(1)可知,,,且
則
設,因為,所以
所以,
所以當時,
種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米
另法:(2)因為,所以
由
所以
設,因為,所以
所以,
所以當時,
種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中,M、N分別為OA、OB的中點,在M、N兩點處各有一個通信基站,其信號的覆蓋范圍分別為以OA、OB為直徑的圓,在扇形OAB內(nèi)隨機取一點,則此點無信號的概率是
A. B. C. D.
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【題目】下列說法中正確的個數(shù)是( )
①相關系數(shù)用來衡量兩個變量之間線性關系的強弱,越接近于1,相關性越弱;
②回歸直線過樣本點中心;
③相關指數(shù)用來刻畫回歸的效果,越小,說明模型的擬合效果越不好.
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【題目】如圖,正方形的邊長為米,圓的半徑為米,圓心是正方形的中心,點、分別在線段、上,若線段與圓有公共點,則稱點在點的“盲區(qū)”中,已知點以米/秒的速度從出發(fā)向移動,同時,點以米/秒的速度從出發(fā)向移動,則在點從移動到的過程中,點在點的盲區(qū)中的時長約________秒(精確到).
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,.
(1)求證:;
(2)若,,為的中點.
(i)過點作一直線與平行,在圖中畫出直線并說明理由;
(ii)求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓:的離心率為,且左焦點F1到左準線的距離為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)若與原點距離為1的直線l1:與橢圓相交于A,B兩點,直線l2與l1平行,且與橢圓相切于點M(O,M位于直線l1的兩側(cè)).記△MAB,△OAB的面積分別為S1,S2,若,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如下圖,在正方體中,點分別為棱,的中點,點為上底面的中心,過三點的平面把正方體分為兩部分,其中含的部分為,不含的部分為,連接和的任一點,設與平面所成角為,則的最大值為( )
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,且橢圓短軸的一個頂點到一個焦點的距離等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)設經(jīng)過點的直線交橢圓于,兩點,點.
①若對任意直線總存在點,使得,求實數(shù)的取值范圍;
②設點為橢圓的左焦點,若點為的外心,求實數(shù)的值.
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【題目】為調(diào)查某校學生每周課外閱讀的情況,采用分層抽樣的方法,收集100位學生每周課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時).根據(jù)這100個數(shù)據(jù),制作出學生每周課外閱讀時間的頻率分布直方圖(如圖).
(1)估計這100名學生每周課外閱讀的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)由頻率分布直方圖知,該校學生每周課外閱讀時間近似服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
①求;
②若該校共有10000名學生,記每周課外閱讀時間在區(qū)間的人數(shù)為,試求.
參數(shù)數(shù)據(jù):,若,,.
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