在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點（0，-
3
），（0，
3
）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點．
（1）寫出C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求k的值．
分析：（1）由題中條件：“點P到兩點（0，-
3
），（0，
3
）的距離之和等于4，”結(jié)合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程．
（2）先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得到一個一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的條件列關(guān)于k方程式即可求得參數(shù)k值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-
3
），（0，
3
）為焦點，長半軸為2的橢圓，它的短半軸b=
22-(
3
)2
=1，故曲線C的方程為x2+
y2
4
=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足
x2+
y2
4
=1
y=kx+1
消去y并整理得
（k2+4）x2+2kx-3=0，
故x1+x2=-
2k
k2+4
，x1x2=-
3
k2+4
．
∵
OA
⊥
OB

∴x1x2+y1y2=0．
∵y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=-
3
k2+4
-
3k2
k2+4
-
2k2
k2+4
+1=0，化簡得-4k2+1=0，所以k=±
1
2
．
點評：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題及方程思想，定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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