Question

已知三點(diǎn)O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x，y）滿足||=
（1）求曲線C的方程；
（2）點(diǎn)Q（x，y）（-2＜x＜2）是曲線C上動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1），l與PA，PB分別交于點(diǎn)D，E，求△QAB與△PDE的面積之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出、的坐標(biāo)，由此求得||和的值，由題意可得 =4-2y，化簡(jiǎn)可得所求．
（2）根據(jù)直線PA，PB的方程以及曲線C在點(diǎn)Q（x，y）（-2＜x＜2）處的切線方程，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得S_△PDE和S_△QAB的值，從而求得△QAB與△PDE的面積之比．
解答：解：（1）由=（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）可得=（-2x，2-2y），
∴||=，=（-2-x，1-y）•（0，2）+2=4-2y．
由題意可得 =4-2y，化簡(jiǎn)可得 x² +2y-3=0．
（2）直線PA，PB的方程分別為 y=-x-1、y=x-1，曲線C在點(diǎn)Q（x，y）（-2＜x＜2）處的切線方程為y=x-，
且與y軸的交點(diǎn)F（0，-）．
由求得x_D=，由求得x_E=．
故x_E-x_D=2，故|FP|=1-．
故S_△PDE=|PF|•|x_E-x_D|=（1-）•2=，
而S_△QAB=×4×（1-）=，
∴=2，即△QAB與△PDE的面積之比等于2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．