Question

【題目】直線l過定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分別交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：解法一：設(shè)A(x0 ， y0)，由中點(diǎn)公式，有B(－x0 ， 2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴ ∴kAP＝ ，
故所求直線l的方程為y＝ x＋1，即x＋4y－4＝0.
解法二：設(shè)所求直線l方程為y＝kx＋1，
由方程組 ，
由方程組 ，
∵A、B的中點(diǎn)為P(0,1)，∴ ，∴k＝ .
故所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.
解法三：設(shè)A(x1 ， y1)、B(x2 ， y2)，P(0,1)為MN的中點(diǎn)，則有 代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程組 解得 由兩點(diǎn)式可得所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.
解法四：同解法一，設(shè)A(x0 ， y0)， 兩式相減得x0＋4y0－4＝0，(1)
考察直線x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0 ， y0)在該直線上；另一方面P(0,1)也在該直線上，從而直線x＋4y－4＝0過點(diǎn)P、A．根據(jù)兩點(diǎn)決定一條直線知，所求直線l的方程為x＋4y－4＝0.
【解析】設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出另一點(diǎn)B的坐標(biāo)，分別代入兩直線方程中，求出點(diǎn)A有坐標(biāo)，得解。