【題目】已知向量 =( sin ,1), =(cos ,cos2 ). (Ⅰ)若 =1,求cos( ﹣x)的值;
(Ⅱ)記f(x)= ,在△ABC中,A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ) ∵
∴
∵
(Ⅱ)∵(2a﹣c)cosB=bcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
∵sinA>0
∴cosB=
∵B∈(0,π),
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【解析】(Ⅰ)利用向量的數(shù)量積公式列出方程求出 ,利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值.(Ⅱ)利用三角形中的正弦定理將等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦值,利用三角形的內(nèi)角和為180°化簡等式,求出角B,求出角A的范圍,求出三角函數(shù)值的范圍.
【考點精析】掌握兩角和與差的余弦公式和正弦定理的定義是解答本題的根本,需要知道兩角和與差的余弦公式:;正弦定理:.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD,若E、F分別為PC、BD的中點. (Ⅰ) 求證:EF∥平面PAD;
(Ⅱ) 求證:EF⊥平面PDC.
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【題目】已知f(x)=|x﹣1|+|2x+3|.
(1)若f(x)≥m對一切x∈R都成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)解不等式f(x)≤4.
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【題目】我國古代數(shù)學著作《九章算術》由如下問題:“今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長5尺,一頭粗,一頭細,在粗的一端截下1尺,重4斤;在細的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”設該金杖由粗到細是均勻變化的,其重量為,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段,記第段的重量為,且,若,則( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
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【題目】如圖,橢圓經(jīng)過點,且點到橢圓的兩焦點的距離之和為.
(l)求橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的兩個點,線段的中垂線的斜率為且直線與交于點,為坐標原點,求證:三點共線.
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【題目】已知直線l:x﹣y=1與圓Γ:x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A,C兩點,點B,D分別在圓Γ上運動,且位于直線l的兩側(cè),則四邊形ABCD面積的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】我市某機構(gòu)調(diào)查小學生課業(yè)負擔的情況,設平均每人每天做作業(yè)時間為X(單位:分鐘),按時間分下列四種情況統(tǒng)計:①0~30分鐘;②30~60分鐘;③60~90分鐘;④90分鐘以上,有1000名小學生參加了此項調(diào)查,如圖是此次調(diào)查中某一項的程序框圖,其輸出的結(jié)果是600,則平均每天做作業(yè)時間在0~60分鐘內(nèi)的學生的頻率是( )
A. 0.20B. 0.80C. 0.60D. 0.40
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,點也為拋物線的焦點.(1)若為橢圓上兩點,且線段的中點為,求直線的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設線段的長分別為,證明是定值.
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