已知直線l：
x=2+t
y=1-at
（t為參數(shù)），與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點．
（1）若A，B的中點為P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一個三等分點，求直線l的直角坐標方程．
分析：（1）設出直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦AB的中點坐標為P（2，1），求出斜率，即可求得直線AB的方程．
（2）根據P（2，1）是弦AB的一個三等分點，得到|AP|=
1
2
|PB|，從而得出
1+a2
|t1|=2
1+a2
|t2|，⇒t1=-2t2，再利用（1）中得到的方程結合韋達定理解得a的值，從而得出直線l的直角坐標方程．
解答：解：（1）直線l：
x=2+t
y=1-at
代入橢圓方程，
整理得（4a2+1）t2-4（2a-1）t-8=0
設A、B對應的參數(shù)分別為t1、t2，則t1+t2=
4(2a-1)
4a2+1
，t1t2=
-8
4a2+1
，
∵A，B的中點為P（2，1），∴t1+t2=0
解之得a=
1
2
，∴t1t2=-4，∵|AP|=
12+(-
1
2
)2
|t1|=
5
2
|t1|，|BP|=
5
2
|t2|，
∴|AB|=
5
2
（|t1|+|t1|）=
5
2
×
(t1+t2)2-4t1t2
=2
5
，
（2）P（2，1）是弦AB的一個三等分點，∴|AP|=
1
2
|PB|，
∴
1+a2
|t1|=2
1+a2
|t2|，⇒t1=-2t2，
∴t1+t2=-t2=
4(2a-1)
4a2+1
，t1t2=-2t
 
2
2
=
-8
4a2+1
，
∴t
 
2
2
=
4
4a2+1
，∴
16(2a-1)2
(4a2+1)2
=
4
4a2+1
，解得a=
4±
7
6
，
∴直線l的直角坐標方程y-1=
4±
7
6
（x-2）．
點評：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點問題，解題的關鍵是直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：x=-2，l與x軸交于點A，動點M（x，y）到直線l的距離比到點F（1，0）的距離大1．
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點A作直線交曲線E于B，C兩點，若
AB
=2
BC
，求此直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓D：x2+
y2
b2
=1(0＜b＜1)的左焦點為F，其左右頂點為A、C，橢圓與y軸正半軸的交點為B，△FBC的外接圓的圓心P（m，n）在直線x+y=0上．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x=-
2
，N是橢圓D上的動點，NM⊥l，垂足為M，是否存在點N，使得△FMN為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：
x=2+t
y=-2-t
（t為參數(shù)）與圓C：
x=2cosθ+1
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），則直線l的傾斜角及圓心C的直角坐標分別是（　�。�
A、
π
4
，(1，0)
B、
π
4
，(-1，0)
C、
3π
4
，(1，0)
D、
3π
4
，(-1，0)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆云南大理賓川四中高二1月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知直線l:  y=x-2 與拋物線y2=2x相交于兩點A、B，

（1）求證：OA⊥OB

（2）求線段AB的長度

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案